在被打后对方已经赔偿但持续辱骂的情况下，你可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

首先，明确结论：对方持续辱骂的行为是不合法的，你有权要求对方停止，并可以通过法律途径来维护自己的名誉权。

具体处理建议如下：

1. 保持冷静，避免再次冲突：

   • 面对对方的辱骂，首先要保持冷静，不要因为情绪激动而再次发生冲突。
   • 尝试忽略对方的言语攻击，保持自己的心态平和。

2. 及时报警并记录证据：

   • 如果对方的辱骂行为严重干扰了你的正常生活，或者存在威胁、恐吓等情节，应立即向公安机关报警。
   • 在报警的同时，尽量记录下对方辱骂的具体内容、时间、地点以及是否有目击者等信息，这些证据在后续法律程序中可能起到关键作用。

3. 寻求法律帮助，维护名誉权：

   • 如果对方的辱骂行为已经构成了名誉侵权，你可以向我咨询，了解具体的法律维权途径。
   • 根据《民法典》的相关规定，名誉权受到侵害的，受害人有权要求侵权人停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉，并可以要求赔偿损失。

4. 考虑民事诉讼：

   • 如果对方的辱骂行为给你造成了严重的精神损害或者经济损失，你可以考虑向法院提起民事诉讼，要求对方承担相应的民事责任。
   • 在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明对方的辱骂行为以及由此给你造成的损害。

5. 注意保护自己的隐私和安全：

   • 在处理此类纠纷时，要注意保护自己的隐私和安全，避免泄露个人信息或者陷入不必要的危险境地。

综上所述，面对对方的持续辱骂，你应保持冷静，及时报警并记录证据，寻求法律帮助来维护自己的名誉权。如果对方的辱骂行为已经构成了严重的侵权，你还可以考虑通过民事诉讼来维护自己的合法权益。在整个过程中，都要注意保护自己的隐私和安全。