鉴定树木死亡的机构是市园林绿化部门。

一. 鉴定机构的确定

1. 根据《城市古树名木保护管理办法》第十条第二款以及《北京市古树名木保护管理条例》第十一条的规定，古树名木死亡，应当报经市园林绿化部门确认，查明原因、责任，方可处理。这表明，市园林绿化部门是负责鉴定树木死亡的官方机构。

二. 鉴定流程与材料

1. 管护责任人需要提交古树名木死亡确认申请表，该表需签字并加盖公章，同时申请中需对古树的死亡原因进行初步分析，并确认死亡时间。
2. 还需提交树木现状的照片，照片需反映申请表中所描述的该株古树现状，且图片需清晰，为近期（近三个月之内）拍摄。
3. 这些材料提交后，市园林绿化部门将进行审查与决定，确认树木的死亡情况。

我建议，如果您需要办理古树名木死亡确认的相关手续，应首先联系当地的园林绿化部门，了解具体的办理流程和要求，并准备好相应的申请材料。如有进一步需要，您可以继续咨询我。