妨害公务罪一般由公安机关的刑事侦查部门管辖。这是因为妨害公务罪属于刑事犯罪，涉及此类案件的侦查工作主要由刑侦部门承担。他们负责收集证据，如现场的物证、证人的证言等，并对犯罪嫌疑人进行讯问等一系列的侦查活动，以确定是否存在妨害公务的犯罪事实以及犯罪情节的轻重等情况。

在具体操作中，一旦出现妨害公务的行为，如以暴力、威胁手段阻碍国家机关工作人员依法执行职务等情况并被报案后，公安机关的接警部门会先对案件进行初步受理。经过对案件性质的初步判别，若确定属于妨害公务罪的范畴，就会将案件移交给刑侦部门，由其开展后续的调查取证、讯问犯罪嫌疑人等一系列侦查工作，以此来确定是否符合妨害公务罪的构成要件，进而决定是否移送起诉等相关司法程序。

综上所述，妨害公务罪的管辖部门是公安机关的刑事侦查部门，他们负责对该类案件进行侦查，并依法移送检察机关提起公诉，最终由法院进行审判。如果你对此类问题有进一步的疑问或需要更详细的法律咨询，请直接向我提问。