结论前置：老人因房东不装空调热到脑梗住院，房东是否承担责任需视具体情况而定。若房东有明确的义务安装空调而未履行，且该不作为与老人的脑梗有直接的因果关系，房东则可能需承担相应的责任。否则，房东通常不承担责任。

分析说明：

1. 合同义务审查：

   • 首先，需审查租赁合同中是否有关于空调安装或提供适宜居住条件的明确约定。若合同中有明确规定房东需安装空调或确保房屋温度适宜居住，而房东未履行此义务，则房东存在违约行为。
   • 若合同中没有相关约定，则需考虑是否存在行业惯例或法律法规规定的房东应提供的居住条件标准，以判断房东是否有安装空调的义务。

2. 因果关系判断：

   • 即便房东存在未安装空调的不作为，也需进一步判断该不作为与老人脑梗之间是否存在直接的因果关系。需考虑老人的年龄、健康状况、是否存在其他导致脑梗的诱因等因素。
   • 若能够证明老人的脑梗确实是由于房东未安装空调导致的高温环境所诱发，则房东的不作为与损害结果之间存在因果关系。

3. 责任承担：

   • 若房东存在违约行为，且该违约行为与老人的脑梗有直接的因果关系，房东则可能需承担违约责任，包括赔偿老人因此遭受的损失。
   • 若房东没有违约行为，或虽然存在违约行为但与老人的脑梗没有直接的因果关系，房东则通常不承担责任。

4. 特殊情况考虑：

   • 若房东在租赁期间曾明确表示愿意安装空调，但因老人拒绝或双方就安装事宜未达成一致而导致空调未安装，此时房东可能不承担责任。
   • 若老人的脑梗是由于自身疾病或其他外部因素导致，与房东是否安装空调无关，则房东显然不承担责任。

法律建议：

• 在处理此类纠纷时，建议双方首先通过友好协商解决。若协商不成，可寻求法律援助或向法院提起诉讼。
• 在诉讼过程中，需准备充分的证据以证明房东的违约行为、因果关系以及损失情况。
• 对于老人而言，若确实因房东的不作为导致损害，应及时就医并保留相关医疗证据，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。