网络假冒他人身份，根据行为目的、手段以及造成的后果等因素，可能构成多种犯罪。以下是对可能构成的罪名及相应法律责任的详细解析：

1. 招摇撞骗罪：

   • 冒充国家机关工作人员（包括人民警察）进行招摇撞骗，损害国家机关的威信及其正常活动，即构成此罪。根据情节轻重，可处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑。

2. 诈骗罪：

   • 以非法占有为目的，通过假冒他人身份骗取公私财物，且数额较大（一般根据各地规定，为三千元至一万元以上），则构成诈骗罪。诈骗罪的刑罚依据诈骗数额的大小和情节的严重程度而定，可能面临有期徒刑、拘役、管制以及罚金的处罚。

3. 侵犯公民个人信息罪：

   • 在假冒他人身份的过程中，如果非法获取、出售或者提供公民个人信息，且情节严重，即构成此罪。可能面临三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。

4. 盗用身份证件罪 / 使用盗用身份证件罪：

   • 盗用或在他人依法应当提供身份证明的活动中使用盗用的居民身份证、护照、社会保障卡、驾驶证等证件，且情节严重的，即构成此罪。可能面临拘役或者管制，并处或者单处罚金。

5. 冒名顶替罪：

   • 盗用、冒用他人身份，顶替他人取得的高等学历教育入学资格、公务员录用资格、就业安置待遇的，构成此罪。可处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。若组织、指使他人实施此类行为，或从重处罚。国家工作人员有此行为，又构成其他犯罪的，依照数罪并罚的规定处罚。

综上所述，网络假冒他人身份的行为性质严重，不仅可能构成多种犯罪，还可能面临严厉的行政处罚。因此，建议公众在日常生活中严格遵守法律法规，尊重他人的身份和权益，切勿触碰法律红线。如果您面临此类法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问，我会为您提供专业的法律帮助。