享受抚恤金的人病故后，其抚恤金的处理主要依据其是否属于因工死亡以及具体的法律规定。

一. 抚恤金的处理

1. 非因工死亡：

   • 如果享受抚恤金的人并非因工死亡，那么其抚恤金通常会在其病故后停止发放。因为抚恤金是针对因工死亡职工的近亲属提供的一种经济补偿，非因工死亡则不符合这一条件。

2. 因工死亡或停工留薪期内因工伤导致死亡：

   • 根据《工伤保险条例》第三十九条，如果职工因工死亡或者在停工留薪期内因工伤导致死亡，其近亲属可以从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。
   • 在这种情况下，如果享受抚恤金的人（即因工死亡职工的近亲属）病故，其原本享受的抚恤金待遇会因其死亡而终止。但其他符合条件的近亲属可能仍有权继续领取部分抚恤金，如供养亲属抚恤金，具体依据《工伤保险条例》的相关规定执行。

二. 特别说明：

• 抚恤金的具体处理还受到当地具体政策、规定以及工伤保险基金的管理规定等因素的影响。
• 在实际操作中，建议咨询当地的社保部门或工伤保险机构，以获取最准确、最权威的信息和指导。

我建议在处理享受抚恤金的人病故后的事宜时，应首先明确其是否属于因工死亡或停工留薪期内因工伤导致死亡，并据此依据相关法律法规和政策规定进行处理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。