针对您提出的“不起诉后行政拘留什么时候执行”的问题，首先我们需要明确一点：行政拘留的执行通常与是否起诉无直接关系，而是依据公安机关作出的行政拘留处罚决定来执行。以下是对您问题的详细解答：

一、行政拘留的执行时间

根据《治安管理处罚法》和《拘留所条例》等相关法律法规，行政拘留处罚决定作出后，拘留决定机关应当在当日将被拘留人送达拘留所执行，不得拖延。这意味着，一旦行政拘留的决定被作出，并且相关手续完备，执行通常会立即进行。

二、行政拘留的执行依据

拘留所凭行政处罚决定书收拘被行政拘留人。这份决定书会明确载明拘留的期限和具体的起止时间，以确保执行的准确性和合法性。

三、特殊情况的处理

如果因特殊情况无法按时送达执行的，拘留决定机关应当在行政处罚决定书上重新载明拘留起止时间，并加盖拘留决定机关印章，以确保执行的合法性和有效性。

四、与刑事案件的关联

如果被拘留人因违法被执行行政拘留后，又被查明涉嫌刑事犯罪，那么应当在行政拘留执行完毕后再采取刑事强制措施。这意味着行政拘留和刑事强制措施是分开执行的，不会相互干扰。

综上所述，不起诉后行政拘留的执行时间主要取决于公安机关作出的行政拘留处罚决定，并且通常会在决定作出的当日即开始执行。如果有任何特殊情况导致无法按时执行，拘留决定机关会依法进行相应调整，并确保执行的合法性和准确性。希望这个解答能够帮助您更好地理解行政拘留的执行流程和相关规定。