医疗美容机构负责人承担的责任主要可以从以下几个方面来阐述：
一、民事责任
- 医疗损害赔偿责任：
- 如果医疗美容机构在提供服务过程中因过错造成患者人身损害，如手术失败、感染、疤痕等，机构及其负责人需根据《中华人民共和国民法典》的相关规定承担赔偿责任。这种责任不仅限于直接经济损失，还可能包括精神损害赔偿等。
二、行政责任
违反管理规定：
- 医疗美容机构若未取得合法执业许可或超出许可范围经营，其负责人将可能面临卫生行政部门的警告、罚款、吊销执业许可证等行政处罚。依据为《医疗机构管理条例》第四十三条。
医疗质量和安全问题：
- 若机构存在医疗质量管理不善、安全监管不力等问题，导致重大医疗质量安全事件，其负责人可能受到行政处分，如警告、罚款等，依据为《医疗质量管理办法》第四十四条。
三、刑事责任
医疗事故罪：
- 如果医疗美容机构负责人因严重不负责任，导致重大医疗事故，如患者死亡或严重健康损害，可能构成医疗事故罪，依据《中华人民共和国刑法》第三百三十五条，将受到刑事处罚。
其他犯罪：
- 如机构负责人参与或指使进行非法行医、生产销售假药劣药、骗取医保基金等违法犯罪活动，也将依法承担刑事责任，具体罪名和刑罚依据相关刑法条款确定，如《刑法》第二百六十六条关于诈骗罪的规定。
综上所述，医疗美容机构负责人需对机构的运营和管理负起全面责任，确保提供安全、合法的医疗美容服务。如因管理不善或决策失误导致违法行为、医疗事故或损害患者权益，将可能承担民事、行政及刑事责任。因此，建议医疗美容机构负责人加强法律法规学习，建立健全管理制度，确保机构合规运营。