驾驶校车超速10%不到20%，应由公安机关交通管理部门处警告或者二十元以上二百元以下罚款。具体分析如下：

一. 超速行驶的法律规定

1. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第四十二条，机动车上道路行驶，不得超过限速标志标明的最高时速。在没有限速标志的路段，应当保持安全车速。这表明，超速行驶是违反道路交通安全法的行为。

二. 超速10%不到20%的处理

1. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十条，机动车驾驶人违反道路交通安全法律、法规关于道路通行规定的，处警告或者二十元以上二百元以下罚款。对于驾驶校车超速10%不到20%的情况，应适用此条款进行处罚。

三. 不涉及更严厉的处罚

1. 需要注意的是，根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条，机动车行驶超过规定时速百分之五十的，才会由公安机关交通管理部门处二百元以上二千元以下罚款，并可能并处吊销机动车驾驶证。而本题中，超速未达到50%，因此不适用此更严厉的处罚条款。

综上所述，驾驶校车超速10%不到20%，应由公安机关交通管理部门处警告或者二十元以上二百元以下罚款。我的建议是在驾驶过程中严格遵守交通规则，确保行车安全，避免超速等违法行为。如有进一步需要，您可以继续咨询我。