医生和教师当然享有姓名权。

姓名权是自然人享有的一项基本人格权，它赋予个人依法决定、使用、变更或者许可他人使用自己姓名的权利。《民法典》第一千零一十二条明确规定，自然人享有姓名权，有权依法决定、使用、变更或者许可他人使用自己的姓名，但不得违背公序良俗。这一规定适用于所有自然人，无论其职业身份如何，包括医生和教师。

对于医生而言，他们作为医疗服务的提供者，在职业活动中需要使用自己的姓名进行诊疗、开具处方等医疗行为，这是其姓名权在职业领域的具体体现。同样，教师作为教育工作的承担者，在教学、科研等活动中也需要使用自己的姓名，这是其姓名权在教育领域的体现。

因此，无论是医生还是教师，他们都享有姓名权，并可以依法行使这一权利。任何未经授权使用、盗用或滥用他们姓名的行为，都可能构成对姓名权的侵犯，需要承担相应的法律责任。