关于农民工往返路费由哪个单位管理的问题，这并不是一个简单明了的答案，因为它可能涉及到多个部门和多种情况。

首先，如果是在特定的情境下，比如疫情防控期间，农民工的返岗路费可能会有一定的政策优惠或补贴。以交通运输部发布的通知为例，在疫情防控期间，由地方政府组织的农民工返岗包车可以纳入疫情防控应急运输绿色通道政策范围，免收高速公路通行费。这样的政策优惠是由交通运输部牵头，并联合地方政府共同实施的。

然而，在常规情况下，农民工的往返路费通常不由政府或特定单位全额承担。农民工需要根据自己的实际情况和需求，自行承担往返路费。当然，他们也可以选择通过合法的劳动派遣或中介机构来寻找工作，这些机构可能会在一定程度上提供路费补贴或报销等福利，但这并非强制性的规定，而是取决于机构的具体政策和农民工与机构之间的协议。

此外，对于在某些特定行业或项目中工作的农民工，比如公路水运工程建设领域的农民工，他们的工资支付管理可能会受到相关政府部门的监管。以湖南省为例，湖南省交通运输厅印发了《湖南省公路水运工程建设领域农民工工资支付管理办法》，该办法对农民工的工资支付进行了规范和管理，但并未直接涉及往返路费的问题。

综上所述，农民工的往返路费管理并不是一个由单一单位或部门负责的问题。它可能涉及到多个部门和多种政策情境。因此，农民工在需要了解相关路费政策或寻求路费补贴时，应该根据自己的实际情况和需求，咨询相关的政府部门或机构，并仔细了解相关的政策和规定。