当您在驾驶过程中遇到故障车辆，并因绕行该车辆而被交通监控设备拍摄时，您可以根据以下步骤进行处理：

首先，您要确保自己的行车行为确实是为了避让故障车辆而不得不采取的紧急措施，且这一行为是符合交通安全原则的。在这种情况下，您的绕行行为可能被视为合理的避险行为。

接下来，为了增加申诉的成功率，您应该尽可能收集相关证据。最有力的是行车记录仪的视频资料，它可以清晰地记录您绕行故障车辆的全过程。如果没有行车记录仪，您也可以尝试寻找其他证据，比如现场的目击者证言或者照片等。

然后，您可以向当地的交通管理部门提出申诉。在申诉时，您需要详细陈述当时的情况，包括故障车辆的位置、状态，以及您绕行的具体原因和过程。同时，提交您收集到的所有证据材料，特别是行车记录仪的视频资料。

交通管理部门在收到您的申诉后，会根据您提供的情况和证据进行核实。如果他们认为您的绕行行为是合理的避险行为，且没有违反交通安全法规，那么他们可能会撤销对您的处罚。

需要注意的是，具体的申诉结果会根据实际情况而定，以交通管理部门的回复为准。同时，也建议您在日常驾驶过程中遵守交通规则，确保行车安全。如果遇到类似情况，一定要保持冷静，合理处理，并及时与交通管理部门沟通。