留校任教是否需要父母的无犯罪证明，取决于具体的政审要求和学校规定。以下是对此问题的详细分析：

一. 政审要求与父母无犯罪证明的关系

1. 政审的普遍性：在留校任教的过程中，通常需要通过政审来评估教师的个人品质和背景。政审的内容可能包括个人的政治立场、道德品质、社会关系等多个方面。
2. 父母无犯罪证明的重要性：在某些情况下，政审可能会要求提供父母的无犯罪证明。这是为了确认教师的家庭背景是否清白，以及是否存在可能影响教师职业声誉和稳定性的不利因素。然而，这一要求并非绝对，而是根据具体的政审标准和学校规定来确定。

二. 学校规定与差异

1. 学校规定的多样性：不同的学校可能有不同的政审规定和要求。一些学校可能明确要求提供父母的无犯罪证明，而另一些学校则可能对此没有具体要求。
2. 差异的原因：学校规定的差异可能源于多个方面，如学校的性质（公立或私立）、地域文化、教育理念等。因此，在留校任教前，建议咨询所在学校的具体要求和规定。

三. 应对策略与建议

1. 了解学校规定：在留校任教前，务必了解所在学校的政审要求和规定，特别是关于父母无犯罪证明的要求。
2. 主动沟通：如果学校确实要求提供父母的无犯罪证明，建议主动与学校相关部门沟通，了解具体的办理流程和所需材料。
3. 准备相关材料：如果确实需要提供父母的无犯罪证明，应尽早准备相关材料，并确保材料的真实性和有效性。

综上所述，留校任教是否需要父母的无犯罪证明取决于具体的政审要求和学校规定。建议你在留校任教前咨询所在学校的具体要求，并根据要求做好相应的准备。如有进一步需要，您可以继续咨询我。