竣工验收后出现问题，应首先依据质量保修制度进行处理，若建筑施工企业不履行保修义务，则可能面临责令改正、罚款以及承担赔偿责任等处罚。具体分析如下：

一. 质量保修制度的应用

• 根据《中华人民共和国建筑法》第六十二条，建筑工程实行质量保修制度，保修范围包括地基基础工程、主体结构工程等，保修期限应按照保证建筑物合理寿命年限内正常使用的原则确定。因此，若竣工验收后出现问题，首先应依据质量保修制度，由建筑施工企业负责保修。

二. 不履行保修义务的处罚

• 若建筑施工企业不履行保修义务或拖延履行，根据《中华人民共和国建筑法》第七十五条，将责令改正，并可以处以罚款。同时，对于在保修期内因质量缺陷造成的损失，建筑施工企业需承担赔偿责任。

三. 其他救济途径

• 根据《中华人民共和国建筑法》第六十三条，任何单位和个人对建筑工程的质量事故、质量缺陷都有权向建设行政主管部门或其他有关部门进行检举、控告、投诉。因此，若建筑施工企业不履行保修义务，除面临法律处罚外，还可能受到行政监管部门的监督和处理。

综上所述，竣工验收后出现问题，首先应依据质量保修制度由建筑施工企业负责保修。若其不履行保修义务，将面临责令改正、罚款以及承担赔偿责任等处罚。同时，相关单位和个人也有权向有关部门进行检举、控告、投诉。如有进一步需要，您可以继续咨询我。