公司开除员工，在员工存在特定情形时，公司可以合法地不需要支付经济补偿金。这些特定情形主要包括：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的：如果员工在试用期内表现不佳，无法达到公司设定的录用标准，公司可以依法解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。

   • 例如，公司招聘了一名销售经理，约定试用期为三个月，但在试用期内该员工未能完成任何销售业绩，公司可以此为由解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

2. 严重违反用人单位的规章制度的：员工如果严重违反了公司的规章制度，如旷工、盗窃公司财物等，公司有权解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

   • 例如，公司员工手册规定，员工连续旷工三天以上视为严重违反规章制度，可解除劳动合同。某员工确实连续旷工五天，公司据此解除劳动合同，无需支付经济补偿金。

3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：员工因严重失职或营私舞弊行为，给公司造成了重大经济损失或声誉损害，公司可以解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

   • 例如，公司财务主管因疏忽大意，导致公司资金被诈骗分子骗走，造成了重大经济损失，公司可以此为由解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：员工如果同时与其他公司存在劳动关系，且影响了本职工作，或者在公司提出后拒不改正，公司可以解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

   • 例如，公司员工在未经公司同意的情况下，同时在另一家公司兼职，且因兼职影响了本职工作，公司可以此为由解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

5. 因《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：即以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的，如果因此导致劳动合同无效，公司可以解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

   • 例如，员工在入职时提供了虚假的学历证明，公司因此与其签订了劳动合同，后来公司发现了这一欺诈行为，可以此为由主张劳动合同无效，并解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

6. 被依法追究刑事责任的：如果员工因犯罪行为被依法追究刑事责任，公司可以解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

   • 例如，公司员工因盗窃公司财物被判处有期徒刑，公司可以此为由解除劳动合同，且不支付经济补偿金。

综上所述，公司在员工存在上述任一情形时，可以合法地解除劳动合同，且无需支付经济补偿金。我的观点是，公司应确保在解除劳动合同时，有充分的证据支持其解除决定，以避免可能的法律纠纷。如有进一步需要，您可以继续咨询我。