医疗机构泄露个人隐私既构成违约，也构成侵权。具体分析如下：

一. 违约责任的认定

1. 合同关系的存在：患者到医疗机构就医，与医疗机构之间建立了医疗服务合同关系。在这个合同关系中，医疗机构有义务保护患者的隐私和个人信息。
2. 违约行为的判定：如果医疗机构泄露了患者的隐私，就违反了医疗服务合同中的保密义务，构成了违约。

二. 侵权责任的认定

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零三十二条，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。同时，该法典第一千二百二十六条也明确规定，医疗机构及其医务人员应当对患者的隐私和个人信息保密，泄露患者的隐私和个人信息，应当承担侵权责任。
2. 侵权行为的构成：医疗机构泄露患者隐私，侵犯了患者的隐私权，符合侵权行为的构成要件。

三. 责任承担

1. 违约责任：医疗机构因泄露隐私而违约的，需要承担相应的违约责任，如赔偿损失等。
2. 侵权责任：医疗机构因泄露隐私而侵权的，除了承担赔偿损失等民事责任外，还可能面临行政处罚，如警告、罚款等，甚至可能构成犯罪，需要承担刑事责任。

综上所述，医疗机构泄露个人隐私既构成违约也构成侵权，需要承担相应的法律责任。我建议医疗机构应严格遵守相关法律法规，加强患者隐私保护，避免泄露患者隐私。如有进一步需要，您可以继续咨询我。