不可以直接起诉老赖要求道歉。下面我将对此进行详细分析：

一. 起诉的法律依据

1. 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，起诉需要满足一定的条件，包括有明确的被告、具体的诉讼请求和事实、理由等。然而，要求老赖道歉并不属于债务纠纷的直接诉讼请求，也不属于可以通过法律程序直接强制执行的请求。

二. 道歉的法律性质

1. 道歉通常属于道德层面的要求，而非法律层面的直接诉求。在法律上，对于债务纠纷，主要的诉求是偿还债务、支付利息或赔偿损失等，这些是可以量化和执行的。而道歉则是一种情感表达，无法直接通过法律程序来强制要求。

三. 老赖的法律责任

1. 老赖，即有能力执行而拒不执行法院判决的债务人，其主要的法律责任是承担相应的民事责任和可能的刑事责任。民事责任主要包括偿还债务、支付利息等；刑事责任则可能涉及拒不执行判决、裁定罪等。

四. 建议的处理方式

1. 如果你的目的是解决债务纠纷，建议通过法律途径追讨债务，如起诉要求偿还债务、支付利息或赔偿损失等。
2. 如果你希望老赖能够道歉，可以尝试通过协商、调解或其他非法律途径来达成。例如，你可以与老赖进行沟通，表达你的感受和诉求，看是否能够达成和解或得到对方的道歉。

综上所述，不可以直接起诉老赖要求道歉，因为这不属于法律层面的直接诉求，也无法通过法律程序直接强制执行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。