轻伤一级羁押最长可达37天。
详细分析：
一、羁押期限的构成
- 刑事拘留阶段：
- 公安局在拘留相关嫌疑人后，若认为需要逮捕，应在拘留后的3日内提请人民检察院审查批准。特殊情况下，这个期限可以延长1日至4日。
- 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30日。
- 人民检察院应在接到公安机关提请批准逮捕书后的7日内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
- 因此，刑事拘留的最长期限为3日（或延长至4日或30日）+ 7日 = 10日（或14日或37日）。其中，37日为最长拘留期限。
二、羁押期限的后续走向
- 若检察院批准逮捕，则嫌疑人将继续被羁押，案件将进入侦查、起诉与审判环节。
- 若检察院未批准逮捕，则公安局应释放嫌疑人或改变强制措施。
三、法律依据
- 《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条明确规定了刑事拘留的期限及延长情况，为上述分析提供了法律依据。
总结：轻伤一级的羁押期限最长可达37天，这是在考虑了刑事拘留阶段的各种可能延长情况后得出的结论。在此期限内，公安机关会进行侦查工作，并根据证据情况决定是否移送检察院审查起诉。如有进一步需要，您可以继续咨询我。