出生证的发放追责需根据具体情况分析，主要涉及发放机构的责任以及可能的法律后果。

一. 发放机构的责任

1. 医疗保健机构的责任：根据《中华人民共和国母婴保健法》第二十三条，医疗保健机构和从事家庭接生的人员按照国务院卫生行政部门的规定，出具统一制发的新生儿出生医学证明。如果医疗保健机构在出生证的发放过程中存在违规操作，如未按照规定发放、发放错误或发放虚假出生证等，那么该机构应承担相应的法律责任。

2. 相关人员的责任：除了医疗保健机构，从事家庭接生的人员也需按照规定出具出生证。如果他们违反规定，同样需要承担法律责任。此外，如果医疗保健机构或相关人员的行为构成犯罪，还可能面临刑事处罚。

二. 可能的法律后果

1. 行政责任：如果医疗保健机构或相关人员在出生证发放过程中存在违规行为，卫生行政部门可能会对其进行行政处罚，如罚款、警告、吊销执业证书等。

2. 民事责任：如果因出生证发放错误或虚假导致他人权益受损，如影响户口登记、教育入学等，那么发放机构或相关人员可能需要承担民事赔偿责任。

3. 刑事责任：在极端情况下，如果医疗保健机构或相关人员的行为构成犯罪，如伪造、变造、买卖出生证等，那么他们可能会面临刑事处罚，如拘役、有期徒刑等。

我建议，如果您认为出生证的发放存在问题，可以向当地的卫生行政部门投诉，并提供相关证据。卫生行政部门会进行调查，并根据调查结果采取相应的处理措施。如果问题严重，涉及法律责任，您还可以考虑通过法律途径维护自己的权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。