公司在以下特定情况下会辞退员工：

一. 合法辞退

合法辞退主要分为过错性辞退、非过错性辞退以及经济性裁员三种情形。

1. 过错性辞退：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，公司在员工存在以下情形之一时，可以解除劳动合同且无需支付经济补偿：
   • 在试用期间被证明不符合录用条件；
   • 严重违反用人单位的规章制度；
   • 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
   • 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响或拒不改正；
   • 因欺诈、胁迫等手段使劳动合同无效；
   • 被依法追究刑事责任。

例如，如果员工经常迟到早退，严重违反了公司的考勤制度，那么公司可以依据此条款辞退该员工。

1. 非过错性辞退：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，公司在以下情形下，提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，但需支付经济补偿：
   • 员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作；
   • 员工不能胜任工作，经过培训或调整岗位仍不能胜任；
   • 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且协商无果。

例如，如果员工因患病无法继续工作，且医疗期满后仍不能胜任原工作或公司另行安排的工作，那么公司可以依据此条款辞退该员工，并支付经济补偿。

1. 经济性裁员：依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，公司在以下情形下，可以裁减人员并需支付经济补偿：
   • 企业破产法规定进行重整；
   • 生产经营发生严重困难；
   • 企业转产、重大技术革新或经营方式调整导致需裁减人员；
   • 其他因客观经济情况发生重大变化致使劳动合同无法履行。

例如，如果公司因经营不善导致严重亏损，需要缩减人员以降低成本，那么公司可以依据此条款进行经济性裁员，并支付经济补偿。

二. 违法辞退

除上述合法情形外，公司若无正当理由辞退员工，或辞退程序不符合法律规定，均构成违法辞退。在违法辞退的情况下，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或要求公司支付赔偿金。

总结：公司在辞退员工时，必须严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，确保辞退行为的合法性和合理性。同时，建议公司在日常管理中加强员工考核与沟通，及时发现并解决潜在问题，避免不必要的法律纠纷。对于员工而言，如认为自身权益受到侵害，也应及时咨询律师或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。