洗车店私自开别人的车，这一行为主要涉及公安交通管理部门和市场监督部门（含工商行政管理部门）的监管。以下是详细分析：
一. 公安交通管理部门
负责事项：
- 洗车店私自开别人的车，首先涉及到的是道路交通安全问题。公安交通管理部门负责监管道路交通安全，对擅自使用他人车辆的行为有权进行查处。
- 如果洗车店在未经车主同意的情况下私自驾驶车辆，可能构成无证驾驶或盗开他人机动车的违法行为，公安交通管理部门可以依法进行处理。
法律依据：
- 相关道路交通安全法律法规，如《中华人民共和国道路交通安全法》等，对无证驾驶、盗开机动车等行为有明确的规定和处罚措施。
二. 市场监督部门（含工商行政管理部门）
负责事项：
- 洗车店作为市场经营主体，其经营行为受到市场监督部门的监管。如果洗车店在提供服务过程中存在欺诈、侵权等违法行为，市场监督部门有权进行查处。
- 私自开别人的车可能构成对车主财产权的侵犯，市场监督部门可以依据相关法律法规对洗车店进行行政处罚或采取其他监管措施。
法律依据：
- 《中华人民共和国市场主体登记管理条例》等法律法规，对市场经营主体的行为进行了规范，并赋予了市场监督部门相应的监管职责和处罚权力。
- 同时，《中华人民共和国消费者权益保护法》也保护消费者的合法权益不受侵犯，洗车店私自开别人的车可能损害车主作为消费者的权益，因此也受该法约束。
我建议：如果洗车店存在私自开别人车的行为，车主可以向公安交通管理部门和市场监督部门进行举报，相关部门将依法进行调查和处理。同时，车主也应加强自我保护意识，确保自己的车辆不被擅自使用。如有进一步需要，您可以继续咨询我。