医疗机构不可以私自售卖注射器。以下是对这一问题的详细法律分析：

一. 医疗器械销售的法规要求

根据《医疗器械监督管理条例》及《医疗器械经营监督管理办法》的相关规定，医疗器械的销售受到严格监管，以确保产品的安全性和有效性。医疗机构作为医疗器械的使用单位，其销售行为同样需要符合相关法规。

二. 医疗机构销售注射器的条件

1. 取得医疗器械经营许可证：医疗机构想要销售注射器，首先需要取得医疗器械经营许可证。这是开展医疗器械销售活动的基本前提。

2. 建立完善的医疗器械质量管理体系：医疗机构需要确保所销售的注射器符合相关质量标准和安全要求，为此需要建立完善的医疗器械质量管理体系。

三. 违规销售注射器的法律后果

1. 行政处罚：对于未取得医疗器械经营许可证而违规销售注射器的医疗机构，负责药品监督管理的部门将责令停止经营，没收违法经营的医疗器械和违法所得，并处以一定金额的罚款。罚款金额根据违法销售的医疗器械货值金额不同而有所区别，货值金额不足1万元的，并处5万元以上15万元以下罚款；货值金额1万元以上的，并处货值金额15倍以上30倍以下罚款。情节严重的，还可能面临吊销医疗器械经营许可证的处罚。

2. 刑事处罚：如果违规销售行为情节严重，如销售不符合标准的医用器材并造成严重后果，医疗机构及其相关责任人还可能面临刑事责任的追究。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能面临的刑罚包括有期徒刑、拘役以及罚金等。

四. 我的建议

医疗机构应当严格遵守医疗器械销售的相关法规，确保销售活动的合规性。如有销售注射器等医疗器械的需求，建议依法取得医疗器械经营许可证并完善相关质量管理体系。同时，医疗机构还应加强对员工的培训和管理，提高他们的专业素养和法规意识，以避免违规销售行为的发生。

• 例如，某诊所未取得医疗器械经营许可证便私自售卖注射器，结果被当地药品监督管理部门查处，不仅没收了违法所得和违法销售的注射器，还被处以高额罚款，并责令停止违法行为。这一案例充分说明了医疗机构违规销售注射器的严重后果。

综上所述，医疗机构不可以私自售卖注射器，必须依法取得相关资质并完善相关管理体系后方可进行销售活动。