私人可以在具有亲子鉴定相关资质的医院或专业鉴定机构进行亲子鉴定。具体选择时，建议关注以下几点：

1. 机构资质：确保所选机构具有进行亲子鉴定的合法资质。可以通过查询相关机构的官方网站或咨询当地卫生健康部门来了解其资质情况。
2. 专业水平：选择具有丰富经验和专业技术的鉴定机构，以确保鉴定结果的准确性和可靠性。可以通过查看机构的鉴定案例、客户评价等来评估其专业水平。
3. 隐私保护：亲子鉴定涉及个人隐私，因此选择机构时应关注其隐私保护措施。确保机构能够严格保密鉴定结果，避免信息泄露。
4. 服务质量和价格：了解机构的服务质量和价格，选择性价比高的机构进行鉴定。可以通过比较不同机构的服务内容、价格等来做出决策。

例如，在北京地区，可以选择北京协和医院、北京301医院等具有亲子鉴定资质的医院进行鉴定。这些医院不仅具备专业的鉴定技术和设备，还能提供完善的隐私保护和服务。

我建议，在进行亲子鉴定前，充分了解并比较不同机构的情况，选择最适合自己的机构进行鉴定。同时，也要注意保护个人隐私和合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。