私生子有合法的继承权。具体分析如下：
一. 私生子的法律地位与继承权
- 法律地位：根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。这一条款明确了私生子（即非婚生子女）在法律上的地位，他们与婚生子女享有同等的权利。
- 继承权：再结合《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照顺序继承，其中第一顺序包括子女，而这里的子女明确包括了非婚生子女。这意味着私生子在继承权上与婚生子女没有区别，他们同样有权继承父母的遗产。
二. 实例说明
- 例如，如果一位父亲在婚外有一个私生子，且该父亲去世时留下了遗产，那么这个私生子就有权与其他婚生子女一起，按照法律规定的继承顺序和份额来继承父亲的遗产。
综上所述，私生子在法律上享有与婚生子女同等的权利，包括合法的继承权。如有进一步需要，您可以继续咨询我。