别墅区私自打井是违法的。具体分析如下：
违反城乡规划：
- 根据《中华人民共和国城乡规划法》的相关规定，进行建筑物、构筑物等工程建设需要向城乡规划主管部门申请办理建设工程规划许可证。虽然水井通常不被视为典型的“建筑物、构筑物”，但打井作为一种工程建设活动，应当遵循城乡规划的要求。如果别墅区规划中没有预留打井的许可，或者当地法律法规明确禁止在别墅区内私自打井，那么未经审批的打井行为将违反城乡规划，构成违法建设。
违反水资源管理法规：
- 根据《取水许可和水资源费征收管理条例》，水井作为取水设施，其建设和使用应当遵循水资源管理法规。未经水行政主管部门批准擅自取用地下水，将构成违法行为。因此，在别墅区私自打井取水，如果未经相关部门批准，将违反水资源管理法规。
法律责任：
- 根据《城乡规划法》第六十四条的规定，未取得建设工程规划许可证或者未按照建设工程规划许可证的规定进行建设的，由县级以上地方人民政府城乡规划主管部门责令停止建设；尚可采取改正措施消除对规划实施的影响的，限期改正，并处建设工程造价一定比例的罚款；无法采取改正措施消除影响的，限期拆除，不能拆除的，没收实物或者违法收入，并可以并处建设工程造价一定比例的罚款。
- 此外，违反水资源管理法规的，还可能面临水行政主管部门的行政处罚，包括罚款、封存或者拆除取水设施等。
综上所述，别墅区私自打井是违法的，不仅可能违反城乡规划，还可能违反水资源管理法规。因此，建议在进行任何打井活动之前，务必咨询当地城乡规划主管部门和水行政主管部门，了解相关政策和程序，并按照规定办理审批手续。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。