申请公开责令改正违法行为通知书通常不可以不公开，但涉及特定情形时可以不予公开。具体分析如下：

1. 政府信息公开的原则：

   • 根据《中华人民共和国政府信息公开条例》，政府信息以公开为常态，不公开为例外。
   • 行政机关在履行职责过程中制作或者获取的，以一定形式记录、保存的信息，应当及时、准确地公开发布。

2. 责令改正违法行为通知书的性质：

   • 责令改正违法行为通知书是行政机关在行政执法过程中，对违法行为人作出的要求其改正违法行为的书面通知。
   • 该通知书通常包含违法行为的描述、改正要求、改正期限等内容，是行政执法活动的重要组成部分。

3. 公开与否的判断依据：

   • 一般情况下，责令改正违法行为通知书作为行政执法活动的结果，应当予以公开，以保障公众的知情权、参与权和监督权。
   • 但若该通知书的公开可能危及国家安全、公共安全、经济安全和社会稳定，或者涉及商业秘密、个人隐私等敏感信息，且符合《政府信息公开条例》中不予公开的具体规定，则可以不公开。

4. 特定情形下的不公开：

   • 例如，如果责令改正违法行为通知书涉及未成年人的违法犯罪记录，或者涉及国家秘密、商业秘密、个人隐私等，且公开后可能对这些主体造成不良影响或损害其合法权益，那么行政机关可以依据相关规定决定不予公开。

综上所述，申请公开责令改正违法行为通知书通常应当公开，但在特定情形下，如涉及敏感信息或可能损害相关主体合法权益时，可以不予公开。如有进一步疑问或需要具体法律建议，请直接向我咨询。