当法庭判决书下达后，如果您希望通过手机申请执行，可以按照以下步骤进行：

一、准备相关材料

1. 判决书原件：确保您手头有判决书原件，并准备好其扫描件或清晰的拍照件。
2. 执行申请书：可以在网上找到模板，根据模板填写相关信息，如执行金额、执行内容等，并打印出来签字。
3. 身份证明材料：准备好您的身份证明材料，如身份证扫描件或拍照件。

二、下载并安装法院诉讼服务APP

1. 在手机上下载并安装相应的法院诉讼服务类APP，如“我国移动微法院”或其他当地法院推出的官方APP。

三、在APP上提交执行申请

1. 打开APP：打开已安装的法院诉讼服务APP。
2. 找到执行申请入口：在APP的功能菜单中，找到“执行申请”或类似名称的入口。
3. 录入判决书信息：根据系统提示，逐步录入判决书的相关信息，如案号、当事人信息等。
4. 上传相关材料：上传准备好的判决书扫描件或拍照件、执行申请书、身份证明材料等。
5. 填写申请信息：在填写申请信息时，务必确保准确无误，包括被执行人的财产状况等细节。

四、提交并等待审核

1. 提交申请：检查所有信息无误后，提交执行申请。
2. 等待审核：提交后，您可通过APP随时查看申请进度和相关通知。一般网上提交之后，3个工作日内就会有回复。如果第一次审核未通过，会根据反馈的原因让您补交相关资料，完善后再次提交即可。

五、后续跟进

1. 关注执行进度：一旦申请被受理，您可以通过APP持续关注执行的进度和结果。
2. 配合法院工作：如有需要，积极配合法院提供必要的协助或补充材料。

通过以上步骤，您应该能够顺利在手机上申请执行。如果在执行过程中遇到任何问题或需要进一步的帮助，请及时联系法院或咨询专业的法律人士。