您好，非常理解您对医院出生证明存根丢失的担忧。出生证明是婴儿的重要身份文件，一旦丢失确实需要尽快补办。以下是根据您的情况，结合相关规定和流程，为您提供的详细解答：

首先，确认补发对象：

补发《出生医学证明》主要适用于1996年1月1日以后出生的新生儿。如果您的孩子是在这个日期之后出生的，那么您可以按照相关流程申请补发。对于1996年以前出生的儿童，一律不予补发《出生医学证明》。如果因户口登记或出国等需要出具出生证明，您可以持接产医院出具的出生证明相关材料，到户口登记机关申报或根据当地有关规定办理出生情况公证。

接下来，了解补发机构：

补发《出生医学证明》需要到原签发机构办理。如果原办证单位因取消办证资格，您可以前往县妇幼保健院进行办理。请务必确认好具体的补发机构，以便后续办理。

然后，准备必要的补发材料：

在申请补发时，您需要准备以下材料：

1. 父母双方身份证原件和复印件；
2. 如有可能，提供原《出生医学证明》存根复印件（需盖章），如果无法提供，则需要按照补发机构的要求提供其他相关证明材料；
3. 刊登有原《出生医学证明》遗失声明的报纸（根据当地要求可能需要）；
4. 补发申请表（至补发机构领取并填写，需盖章或提供新生儿是否申报户籍的证明材料）；
5. 书面承诺说明（根据当地要求可能需要）。

最后，按照流程申请补发：

1. 由您或您的监护人到原签发机构或指定的补发机构提出申请；
2. 提交准备好的补发材料，并填写补发申请表；
3. 补发机构会核实您提供的信息和材料；
4. 经核实情况属实后，补发机构会按照原登记信息为您补发《出生医学证明》。如果未办理户籍手续前遗失的，会补发正、副联；如果已办理户籍手续后遗失的，只补发正联。

请注意，补领《出生医学证明》通常需要孩子父母双方本人亲自前往办理。另外，由于《出生医学证明》是婴儿的重要身份文件，务必要终生妥善保管，避免再次丢失。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您在补办过程中遇到任何问题或困难，可以随时咨询补发机构或当地卫生行政部门寻求帮助。