在刑事案件中，关于“执行到什么阶段可以申请拘留”的问题，首先需要明确的是，拘留通常是在侦查、起诉或审判阶段由公安机关或法院根据案件具体情况决定的，而不是在“执行”阶段。执行阶段主要涉及的是判决或裁定的履行，如罚金缴纳、刑罚执行等。
然而，如果问题是在询问民事案件执行过程中是否可以申请对被执行人进行拘留，那么答案是肯定的。在民事案件执行阶段，若被执行人存在妨碍执行的行为，如拒不履行生效法律文书确定的义务、隐藏或转移财产等，申请人可以向执行法院申请对被执行人进行司法拘留。
具体来说：
申请条件：被执行人必须存在妨碍执行的行为，如拒不报告或虚假报告财产情况、隐藏或转移已被查封、扣押的财产等。
申请流程：申请人需要向执行法院提交书面申请材料，说明被执行人的妨碍执行情况，并提供相关证据。法院在审查核实后，若认为符合拘留条件，会作出拘留决定。
拘留期限：司法拘留的期限一般不超过十五日，且法院在作出拘留决定时会非常谨慎。
综上所述，如果是在民事案件执行阶段，当被执行人存在妨碍执行的行为时，申请人可以向法院申请司法拘留。但请注意，拘留是强制执行程序中的一种严厉手段，应谨慎使用，并确保符合法定条件和程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。