房产证上父亲的名字，母亲不可以擅自卖掉该房产。以下是对此问题的详细分析：

一、房屋产权归属

房产证上登记的是父亲的名字，根据《物权法》的相关规定，这意味着父亲是该房屋的法律所有权人。他享有对该房屋的占有、使用、收益和处分的权利。

二、母亲卖房权限的判定

1. 父亲同意或授权：

   • 如果父亲同意母亲出售房产，并给予了明确的授权或签署了相关的同意书，那么母亲在代理权限内可以代为出售房产。此时，出售行为合法有效。

2. 父亲不同意或未授权：

   • 如果母亲未经父亲同意擅自出售其房产，将构成无权处分。此情况下签订的买卖合同可能无效，且母亲可能需要承担法律责任。

三、特殊情况下的处理

• 父亲无行为能力或限制行为能力：
  • 如果父亲因某种原因（如疾病、年老等）成为无行为能力人或限制行为能力人，且母亲是他的法定监护人，那么在某些特定情况下（如为了父亲的治疗费用等），母亲可能经过法定程序并获得相关部门的监督和许可后，出售房产。但这要求母亲提供充分证据证明出售行为是为了被监护人的利益。

四、法律后果与风险提示

• 无权处分的法律后果：

  • 如果母亲未经父亲同意擅自出售房产，不仅可能面临合同无效的风险，还可能因侵害父亲财产权益而承担民事甚至刑事责任。

• 买家风险：

  • 对于买家而言，在购买登记在他人名下的房产时，应谨慎核实卖家的处分权。否则，即使签订了买卖合同并支付了购房款，也可能无法取得房屋所有权，且已支付的款项可能面临返还风险。

五、结论与建议

综上所述，房产证上写着父亲的名字时，母亲在没有得到父亲明确授权或同意的情况下是不能擅自出售该房产的。如果确实需要出售，应先与父亲沟通并取得其同意，或者通过法律途径解决相关问题。同时，建议买家在购买此类房产时也应充分了解并核实卖家的处分权情况，以避免不必要的法律风险和经济损失。

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