当您手中的电子银行承兑汇票到期时，您可以按照以下步骤进行操作：
一、确认汇票到期日
首先，请仔细核对电子承兑汇票的到期日期，确保您不会错过提示付款的时间。
二、发起提示付款
在汇票到期日的当天，当票据状态变为“提示付款”时，您可以通过电子票据系统向票据承兑人发起提示付款。以下是具体的操作步骤（以平安银行为例）：
登录企业网上银行：使用您的企业网上银行账号登录到相应的银行平台。
选择票据业务：在菜单下选取“票据业务”或类似选项。
进入提示付款界面：选择“电子票据”→“提示付款”→“提示付款”。
查询并选择票据：根据页面提示编辑票据查询条件，点击“查询”按钮。系统将显示所有满足查询条件的票据信息。
选择清算方式：选取要托收的电子票据，并选择线上或线下清算方式。
提交并确认：确认无误后，提交提示付款指令，并等待承兑人的响应。
三、处理承兑人响应
承兑人同意付款：如果承兑人同意付款，您将收到相应的款项，此时交易完成。
承兑人拒绝付款或未响应：如果承兑人拒绝付款或在合理期限内未予响应，您可以根据《中华人民共和国票据法》的相关规定行使追索权。
四、行使追索权（如适用）
如果承兑人拒绝付款，您可以在被拒绝付款后的法定期限内（一般为六个月内）向除自己以外的所有前手发出书面的追索通知，并提供被拒绝付款的证明材料。
五、注意事项
及时操作：请务必在汇票到期日当天或之前发起提示付款，以避免因逾期而产生的额外麻烦。
信息准确性：在发起提示付款时，请确保所填写的信息准确无误，以避免因信息错误而导致的延误或拒付。
保留证据：在整个过程中，请妥善保留所有相关的电子证据和书面材料，以备不时之需。
法律咨询：如果遇到复杂或难以解决的问题，建议及时咨询专业的法律人士或金融机构以获取帮助。
综上所述，当电子银行承兑汇票到期时，您应及时发起提示付款，并根据承兑人的响应采取相应的措施。在整个过程中，请务必遵守相关法律法规，并确保操作的合法性和合规性。