车辆乱停乱放的管理部门主要取决于停车的地点及其性质。以下是具体的管理部门及职责划分：
公安机关交通管理部门（交警部门）：
- 负责城市道路范围内，包括机动车道、非机动车道、人行道以及公共广场、公共停车场等用于公众通行的场所的乱停车行为管理。
- 交警有权对违法停放的机动车进行查处，如贴罚单、拖移车辆等。
- 法律依据为《中华人民共和国道路交通安全法》等相关法规。
城市管理部门（城管部门）：
- 主要负责城市道路以外的公共场地，如居民小区外的一些开放式广场、未纳入交警管理范畴的背街小巷等区域的乱停车行为管理。
- 城市管理部门可以采取相应的处罚措施，以规范停车秩序。
- 在某些地方，城市管理部门也会与交警部门协作，共同参与道路停车管理。
物业或管理方：
- 负责小区、商场等私有或管理区域内的乱停车问题管理。
- 物业或管理方有权根据物业服务合同或内部规章制度，对乱停车行为采取措施进行纠正。
因此，在发现车辆乱停乱放时，应根据停车地点的不同选择合适的部门进行投诉或举报。例如，在城市道路上应联系交警部门；在小区或商场内应联系物业或管理方；在道路以外的公共场地可尝试联系城市管理部门。同时，各地的街道办事处或社区管理机构也可能提供协助。