当您发现银行卡里突然多出5000元时，请遵循以下步骤妥善处理：
一、初步自查与保持冷静
首先，不要因为一时的惊喜而随意动用这笔资金。保持冷静，通过银行的收支明细或手机银行APP仔细核查这笔资金的来源。检查是否是亲友的汇入、公司薪资发放、投资收益等合法途径。
二、确认资金来源并与银行沟通
确认资金来源：
- 如果能确认是他人错误转账或不当得利，您有义务归还。
- 如果是家人、亲戚的汇款，或公司工资、投资收益等，则无需担心。
- 如无法确定资金来源，或疑似涉及不正当或犯罪活动，请立即联系银行。
及时联系银行：
- 拨打银行客服电话或前往银行网点，详细说明情况，并提供您的身份信息、银行卡号及资金异常的具体情况。
- 银行可能会要求您提供关于这个错误的详细记录，包括日期、时间和金额，这对后续的账户调整或理赔申请非常重要。
三、配合银行调查并遵循法律程序
- 提供必要信息，协助银行尽快查明资金的具体来源。
- 如银行初步调查发现资金来源可疑，可能会移交相关机构如公安机关处理，此时请积极配合调查工作。
- 在资金来源未明确之前，切勿动用这笔钱，以避免可能的法律纠纷。
四、关注后续处理及账户安全
- 根据银行和相关机构的调查结果，按照法律程序处理资金。如果属于误转，应按规定程序将资金返还给真正所有者。
- 确保其他资金安全，并留意此事件是否对您的信用记录产生影响。如有需要，可与信用报告机构联系，了解如何维护或修复信用记录。
重要提示：
面对银行卡里突然多出的钱款，请务必保持冷静并遵循法律法规和道德规范进行处理。不当得利可能会带来潜在的法律风险和纠纷，因此请务必谨慎对待。通过自查、与银行沟通、配合调查以及关注后续处理等步骤，您可以确保合法合规地解决这一问题。