当两次签订合同后不续签，员工是否可以要求继续履行合同，需根据具体情况分析。以下是对此问题的详细解答：
用人单位违法不续签的情形：
- 可主张继续履行：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，如果员工与用人单位已连续订立二次固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，员工提出续订劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，用人单位应当订立无固定期限劳动合同。若用人单位在符合签订无固定期限劳动合同的条件下拒绝续签，属于违法终止劳动合同。此时，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同。
- 实际履行考量：然而，能否最终继续履行还需考虑实际情况。如果岗位已被他人替代、公司业务发生重大调整导致岗位撤销等，客观上无法继续履行，法院可能不会支持员工继续履行的请求，但会判决用人单位支付赔偿金。
存在法定不续签情形的情形：
- 不可主张继续履行：若员工存在《劳动合同法》第三十九条（如严重违反规章制度等）和第四十条第一项（医疗期满后不能从事原工作）、第二项（不胜任工作经培训或调岗后仍不胜任）规定的情形，用人单位有权不续签劳动合同，员工不能要求继续履行。
员工主动选择固定期限合同的情形：
- 按约定执行：如果在第二次固定期限劳动合同到期前，员工明确表示愿意续订固定期限劳动合同，并与用人单位达成一致，那么双方应按照新的固定期限合同履行。在这种情况下，合同到期后用人单位不续签，员工一般不能再以应签订无固定期限劳动合同为由要求继续履行，但可以依法主张经济补偿。
综上所述，两次签订合同后不续签，员工是否可以要求继续履行合同，需结合具体情况及《劳动合同法》的相关规定进行判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。