结论：信用卡欠款2万元，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉以及何时被起诉，取决于多种因素。以下是对此问题的详细分析：

一、银行的处理流程与起诉考量

1. 前期催收：

   • 当持卡人出现逾期还款时，银行通常会先通过短信、电话等方式进行催收，提醒持卡人尽快还款。
   • 如果催收无果，银行可能会委托第三方催收机构进行更频繁的催收，甚至可能上门催收。

2. 起诉考量因素：

   • 欠款金额与期限：欠款金额越大、逾期时间越长，银行采取法律手段的可能性越高。2万元的欠款金额已达到一定规模，若长期未还，银行很可能选择起诉。
   • 持卡人的还款意愿与能力：若持卡人表现出积极的还款意愿，并与银行协商制定还款计划，银行可能暂缓起诉。相反，若持卡人完全失去联系或明确表示无力偿还，银行将更倾向于通过法律途径解决。
   • 银行的内部政策与风险考量：不同银行对逾期账款的处理政策存在差异，部分银行可能因风险控制需要，在特定条件下优先选择诉讼清收。

二、银行起诉的法律依据与程序

• 法律依据：

  • 根据《中华人民共和国民法典》中关于借款合同的规定，信用卡透支消费构成借款合同关系，持卡人有义务按约定还款。若持卡人逾期未还，银行有权要求持卡人承担违约责任，包括偿还本金、利息及滞纳金等费用。
  • 根据《商业银行信用卡业务监督管理办法》，对于逾期时间较长、经多次催收仍未还款的持卡人，银行有权采取法律手段追讨欠款。

• 起诉程序：

  • 若银行决定起诉，将向法院提交起诉状及相关证据（如信用卡申请表、交易记录、催收记录等）。
  • 法院受理案件后，将依法审理并作出判决。若持卡人败诉，需承担还款责任及可能产生的滞纳金、利息等费用。拒不执行判决者，银行可申请强制执行。

三、可能的法律后果与应对建议

1. 法律后果：

   • 被起诉后，持卡人需承担诉讼费用，并面临法院判决强制执行的风险。
   • 若拒不履行判决，可能被列入失信被执行人名单，影响个人信用记录，甚至可能面临限制高消费、限制出境等措施。

2. 应对建议：

   • 主动沟通：发现无法按时还款时，应立即与银行联系说明情况，表达还款意愿。
   • 协商方案：尝试申请分期还款、延期还款等个性化解决方案，以减轻还款压力。
   • 保留证据：与银行沟通时，务必保留好相关证据（如通话记录、短信、邮件等），以备不时之需。
   • 寻求帮助：若已收到法院传票或面临其他法律问题，可直接向我咨询，我将为你提供专业的法律建议。

四、特殊情况说明

• 恶意透支：如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并且经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还的，可能构成恶意透支，涉嫌信用卡诈骗罪。此时，银行不仅会通过民事诉讼追讨欠款，还可能向公安机关报案，追究持卡人的刑事责任。

综上所述，信用卡欠款2万元时，银行是否会起诉取决于多种因素。为避免可能的法律纠纷和不良后果，建议持卡人积极与银行沟通，展现还款意愿和能力，并寻求合适的还款方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。