在父亲去世而母亲仍然健在的情况下，关于如何继承父亲名下的存款，这是一个涉及法律继承流程的问题，我会根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，为您详细解答。
一、明确遗产范围与性质
首先，我们需要明确父亲的存款在其去世后即成为遗产，这部分遗产需要依据法律进行分配。在判断存款性质时，我们需考虑：
夫妻共同财产：如果存款是父亲与母亲在婚姻期间共同积累的，那么它属于夫妻共同财产。在这种情况下，存款的一半自然归母亲所有，另一半则作为父亲的遗产进行分配。
个人财产：如果存款是父亲婚前个人所有，或者有明确约定为父亲个人所有，那么这部分存款将全部作为遗产进行分配。
二、确定继承方式
接下来，我们需要确定继承方式，这主要取决于父亲是否留下了合法有效的遗嘱：
遗嘱继承：如果父亲生前立有合法有效的遗嘱，并且明确安排了存款的继承，那么我们应当严格遵循遗嘱执行。遗嘱中可能指定了母亲、子女或其他人为继承人。
法定继承：如果父亲没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么我们将按照法定继承顺序进行分配。
三、法定继承顺序与份额
在法定继承的情况下，我们需要了解继承顺序和份额的分配原则：
继承顺序：根据《中华人民共和国民法典》的规定，第一顺序继承人包括配偶（母亲）、子女、父母（若在世）。由于题目中已说明父亲去世而母亲健在，且未提及祖父母的情况，我们在此假设祖父母已不在世或放弃继承权。因此，主要的第一顺序继承人为母亲和子女。
继承份额：同一顺序继承人原则上均等分配遗产。但在特殊情况下，如生活困难、缺乏劳动能力或对被继承人尽了主要扶养义务的继承人，可适当多分；反之，不尽扶养义务的继承人可能不分或少分。
四、办理继承手续
确定了继承人和份额后，我们需要办理相关的继承手续：
准备证明材料：包括父亲的死亡证明（由公安机关出具）和亲属关系证明（由单位、居委会或村委会出具）。
继承公证：前往公证处办理继承公证，以确认继承人的身份及遗产范围。
银行手续：凭继承公证书、身份证等材料到银行办理存款支取或转移手续。部分银行对小额存款可能有简化流程，具体可咨询相关银行。
五、特殊情况处理
在继承过程中，可能会遇到一些特殊情况，如继承争议等。如果继承人之间对存款继承存在争议，首先应尝试协商或调解解决。如果无法协商一致，可以通过向人民法院提起诉讼来解决争议，法院将依法判决。
综上所述，继承父亲名下的存款需要明确遗产范围与性质、确定继承方式、了解法定继承顺序与份额、办理继承手续，并在遇到特殊情况时通过法律途径解决。希望这些解答能够帮助您顺利处理继承事宜。