涉嫌拒不执行判决、裁定罪（拒执罪）的刑事拘留时间，根据不同情况会有所变化，但一般情况下最长拘留时间为37天。以下是对该问题的详细解析：

一、一般拘留期限

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对于被拘留的人，若公安机关认为需要逮捕，应在拘留后的三日以内提请人民检察院审查批准。在此期间，人民检察院会在接到提请批准逮捕书后的七日以内作出决定。因此，一般情况下，从被刑事拘留开始，最长拘留时间为10天（3天提请批捕时间 + 7天检察院审查时间）。

二、特殊情况的拘留期限

在特殊情况下，如案情复杂或需要进一步调查，公安机关提请审查批准的时间可以延长一日至四日。加上人民检察院的审查时间，此时的最长拘留时间为14天（3天基础提请批捕时间 + 1-4天延长的提请批捕时间 + 7天检察院审查时间）。

三、流窜作案、多次作案、结伙作案的拘留期限

对于流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，由于案件性质更为严重和复杂，公安机关提请审查批准的时间可以延长至三十日。结合人民检察院的审查时间，这种情况下最长拘留时间为37天（30天提请批捕时间 + 7天检察院审查时间）。这也是在涉嫌拒执罪的情况下，可能面临的最长拘留期限。

四、拘留后的可能走向

1. 变更强制措施：若在拘留期限内，证据不足或不符合逮捕条件，公安机关可能会变更强制措施，如取保候审或监视居住。
2. 继续羁押与刑期折抵：若未被取保候审，拘留后可能会被逮捕并继续羁押，直到整个案件结束。此期间的时间因案件办理情况而异，难以确定。但若之后被判处刑罚，刑期会折抵实际羁押的期限，确保判决前至少关押的时间不会少于实际羁押的期限。

五、法律建议

1. 积极配合调查：如果涉嫌拒执罪并被刑事拘留，应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据。
2. 寻求法律帮助：在拘留期间，有权委托律师作为辩护人，律师可以提供法律咨询，协助了解相关法律规定，制定合适的应对策略，以维护合法权益。
3. 履行法院判决：如果确实存在拒不执行法院判决、裁定的情况，应尽快履行相关义务，以减轻法律后果。

综上所述，涉嫌拒不执行判决、裁定罪的刑事拘留时间并非固定不变，而是根据具体情况而定。了解相关法律规定和程序，对于维护自身权益至关重要。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。