冤假错案的纠正与责任承担涉及多个法律主体和程序，以下从不同角度为您详细解答：
责任承担主体
- 司法人员个人：若侦查、检察、审判人员在办案过程中存在刑讯逼供、伪造证据、徇私枉法等违法行为，需承担行政处分或刑事责任。例如，侦查人员刑讯逼供可能构成刑讯逼供罪，审判人员故意枉法裁判可能构成民事、行政枉法裁判罪。
- 司法机关：根据《国家赔偿法》，冤假错案导致公民合法权益受损时，作出错误司法行为的司法机关需承担国家赔偿责任，支付赔偿金。同时，司法机关内部会启动监督和纠错程序，追究相关责任人责任，并通过完善制度、加强培训等方式预防类似错误再次发生。
- 赔偿义务机关：赔偿义务机关在赔偿后，有权向在处理案件中有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为的工作人员追偿部分或全部赔偿费用。
纠正程序
- 审判监督程序：依据《中华人民共和国刑事诉讼法》，各级人民法院院长、最高人民法院、上级人民法院以及最高人民检察院和上级人民检察院均有权对已生效的判决和裁定进行审查。如发现确有错误，可提审、指令再审或提出抗诉，为冤假错案的纠正提供法律保障。
- 具体负责部门：
- 人民法院：立案庭负责接收申诉材料，进行初步审查；刑事审判庭或专门设立的审判监督庭负责对申诉案件进行实质审查，决定是否启动再审程序。
- 人民检察院：控告申诉检察部门负责接收当事人的申诉材料，进行初步调查核实；刑事执行检察部门（监所检察部门）对于涉及服刑人员的申诉，可能参与调查和监督。
申诉途径与赔偿请求
- 申诉途径：当事人及其法定代理人、近亲属认为已生效的判决、裁定有错误时，可向人民法院或人民检察院提出申诉。虽然申诉不能停止判决、裁定的执行，但它是启动审判监督程序的重要途径。
- 赔偿请求：赔偿请求人要求赔偿时，应先向赔偿义务机关提出；也可在申请行政复议或提起行政诉讼时一并提出。国家赔偿以支付赔偿金为主，同时可能采取返还财产或恢复原状的方式进行。侵犯公民人身自由的赔偿金按国家上年度职工日平均工资计算。
其他相关部门的协助
- 公安机关：在必要时，配合法院或检察院的调查工作，提供必要的证据和材料。
- 司法行政机关：如律师协会等，可以为申诉人提供法律援助，帮助其维护合法权益。
举例说明：
假设某人因被错误指控犯罪而被判刑，后经申诉发现原判决存在事实认定错误。在此情况下，该人可以向人民法院或人民检察院提出申诉，启动审判监督程序。若法院或检察院认为原判决确有错误，将依法改判或发回重审。同时，该人还有权要求作出错误判决的司法机关承担国家赔偿责任，支付相应的赔偿金。
法律建议：
如果您或您身边的人遭遇了冤假错案，建议及时收集相关证据，向人民法院或人民检察院提出申诉。同时，也可以寻求律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。在申诉过程中，请保持耐心和信心，相信法律会给出公正的裁决。
后续行动建议：
- 详细记录案件经过和关键证据，为申诉做好准备。
- 咨询专业律师，了解申诉的具体流程和注意事项。
- 保持与司法机关的沟通，及时了解申诉进展情况。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。