面对肇事司机全责却不肯垫付医药费的情况，您有权要求肇事司机及保险公司承担赔偿责任，包括垫付医药费，并可通过以下途径有效解决问题：

一、法律途径

1. 请求交警部门调解：

   • 您可以请求公安机关交通管理部门进行调解，以达成赔偿协议。根据《道路交通安全法》，交警部门有责任协助处理此类纠纷，并促进双方达成和解。

2. 向法院提起民事诉讼：

   • 若调解无果或对方拒绝履行协议，您可向法院提起诉讼，要求肇事司机及其保险公司赔偿。在诉讼过程中，您需要提供充分证据，如医疗记录、费用清单、事故认定书等，以支持您的诉求。法院将依法作出判决，要求肇事司机承担赔偿责任。

3. 申请先于执行：

   • 如果您担心对方转移财产或拖延履行赔偿义务，可以在起诉的同时向法院申请先于执行。法院有权冻结对方的财产或要求其提前赔偿，以确保您的权益得到及时保障。

二、保险机制利用

1. 交强险垫付：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十五条和《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条，肇事车辆若参加了机动车第三者责任强制保险（交强险），保险公司应在责任限额内支付抢救费用。您可以向交警部门申请出具垫付通知书，并提交给保险公司申请垫付医药费。

2. 商业险预赔：

   • 若肇事车辆购买了商业第三者责任险，您可以与保险公司协商启动预赔程序。在提供必要证据后，保险公司可能会提前支付部分医疗费用，以减轻您的经济负担。

三、社会救助途径

1. 道路交通事故社会救助基金：

   • 在特定情况下，如肇事方无力垫付或不垫付、交强险不足以支付抢救费用时，您可以向道路交通事故社会救助基金申请垫付部分或全部医疗费用。该基金旨在为交通事故中的受害者提供及时救助，并有权向责任人追偿。

2. 医院人道主义救助：

   • 某些医院可能提供人道主义救助政策，如允许欠费治疗或提供医疗费用减免。您可以与就诊医院沟通，了解相关政策并争取支持。

四、注意事项与法律后果

1. 保留证据：

   • 在处理此类纠纷时，务必保存好所有相关证据，包括医疗记录、费用清单、事故认定书、沟通记录等。这些证据在后续索赔或诉讼过程中将起到关键作用。

2. 了解法律后果：

   • 肇事司机全责且未垫付医疗费时，需承担赔偿责任。若因未垫付导致受害人伤势扩大或死亡等严重后果，肇事司机还需承担额外赔偿责任。此外，如果肇事司机在交通运输肇事后逃逸或有其他特别恶劣情节，可能面临刑事处罚。

3. 保持冷静理性：

   • 在处理过程中，请保持冷静理性，避免不必要的争执和冲突。通过合法途径维护自身权益是更为有效和安全的方式。

综上所述，面对肇事司机全责却不肯垫付医药费的情况，您有多种途径可以维护自身权益。建议您根据实际情况选择合适的方式，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。