针对“履职申请60天不答复诉讼”问题，核心结论如下：

1. 行政机关不履行法定职责的诉讼救济
   根据《行政诉讼法》第四十七条，公民、法人或其他组织申请行政机关履行保护人身权、财产权等法定职责，行政机关在接到申请后两个月内未履行的，申请人可向法院提起诉讼。若法律、法规对履行期限另有规定的，从其规定。

   • 关键点：
     
     • 履职申请需明确指向行政机关的法定职责（如市场监管、环保执法等）；
       
     • 60天（两个月）是法定答复期限，超期未答复即构成程序违法；
       
     • 诉讼需以行政机关“不作为”为事实依据，需保留申请材料、送达回执等证据。

2. 诉讼类型与程序选择

   • 行政不作为之诉：直接起诉行政机关不履行法定职责，法院将审查行政机关是否具有相应职责、是否超期未处理。
     
   • 履行判决与赔偿：若法院认定行政机关不作为违法，可判决其限期履行职责；若不作为导致损害，可同时主张行政赔偿（《国家赔偿法》第四条）。
     
   • 例外情形：若行政机关已明确拒绝履职（如书面答复“不予受理”），则需以拒绝决定为对象提起撤销或确认违法之诉，而非不作为之诉。

3. 实务建议

   • 证据固定：通过EMS邮寄申请材料（留存邮寄凭证），要求行政机关签收并出具回执；若口头申请，需通过录音、证人等方式固定证据。
     
   • 催告程序：在60天期满前，可向行政机关发送《履职催告书》，明确要求其限期答复，强化其不作为的违法性。
     
   • 诉讼时效：自知道或应当知道行政机关不作为之日起6个月内提起诉讼（《行政诉讼法》第四十六条），避免超期丧失诉权。
     

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