农民工在遇到工资拖欠问题时，想要快速解决，可以优先考虑以下几个部门或途径：

1. 劳动保障监察部门

   • 特点与优势：这是专门负责监督用人单位遵守劳动法律法规的行政部门，具有快速介入和高效处理的特点。他们有权对用人单位进行调查，对于查证属实的拖欠工资行为，可以依法责令用人单位限期支付，并有权进行行政处罚。
   • 处理流程：农民工可以拨打全国统一的劳动保障监察投诉举报电话12333，或者前往当地劳动保障监察机构进行现场投诉。投诉时，请携带身份证件、劳动关系证据（如劳动合同、工作证、工资条等）及拖欠工资的相关证据。监察部门将在受理后迅速展开调查，并将处理结果及时反馈给投诉人。

2. 劳动争议调解组织

   • 特点与优势：劳动争议调解组织以调解为主要手段，程序灵活高效，有助于双方快速达成和解协议，解决工资纠纷。这种方式避免了矛盾的激化，有利于维护和谐的劳动关系。
   • 处理流程：农民工可以向企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或乡镇、街道设立的劳动争议调解组织提出调解申请。调解组织将在3个工作日内决定是否受理，并在受理后15日内完成调解工作。若双方达成调解协议，用人单位需按协议及时支付工资。

3. 建设领域清欠办公室（针对建筑行业）

   • 特点与优势：由于建筑行业拖欠工资问题较为突出，建设领域清欠办公室专门负责解决该领域的工资拖欠问题。他们具有针对性和专业性，能够更有效地协调相关方解决工资拖欠。
   • 处理流程：农民工可以向当地清欠办反映情况，提供工程项目名称、施工单位等信息。清欠办将对项目进行深入调查，并协调相关方快速解决工资拖欠问题。对于拒不支付的企业，清欠办将采取进一步处罚措施，如限制招投标等。

4. 法律援助机构与法律诉讼

   • 特点与优势：当农民工需要通过法律途径解决工资拖欠问题，但经济困难无力聘请律师时，法律援助机构可以提供免费律师服务。此外，如果手中持有欠条等凭证，农民工还可以直接向法院申请支付令，要求用人单位支付拖欠工资，这是一种快捷有效的法律手段。
   • 处理流程：农民工可以向当地法律援助机构提出申请，提交相关证明材料（如经济困难证明等）。经审核符合条件的，法律援助机构将指派专业律师为其提供法律服务，包括代理仲裁、诉讼等。若选择申请支付令，农民工需向法院提交欠条等凭证，并按照法院的要求完成相关手续。

在采取任何行动之前，农民工应尽可能收集所有相关证据，包括工作合同、工时记录、工资条以及与雇主的沟通记录等。这些证据将有助于相关部门更快地了解问题，并作出有利于农民工的裁决。

最后，我想强调的是，农民工在遇到工资拖欠问题时，不要慌张，也不要采取过激行为。通过合法途径维护自己的权益是最明智的选择。如果在这个过程中遇到任何困难或疑问，都可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供帮助。