在司机全责的情况下，雇主的责任承担并非固定不变，而是取决于多种因素，包括司机是否在执行工作任务、雇佣关系的性质以及是否存在特殊情况等。以下是对此问题的详细分析：
一、司机在执行工作任务时发生事故
一般原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方（即司机）因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方（即雇主）承担侵权责任。这意味着，在雇佣关系中，如果司机在执行雇佣活动过程中发生交通事故并负全责，雇主需要对外承担赔偿责任。
雇主的追偿权利：
- 如果司机在交通事故中存在故意或者重大过失（如严重超速、酒驾、疲劳驾驶等明显违反交通规则和安全注意义务的行为），雇主在承担了对外的赔偿责任后，有权向司机进行追偿，部分或全部损失可由司机承担。
连带责任的可能性：
- 根据《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》的相关规定，如果雇员在从事雇佣活动中致人损害，且该损害是由于雇员的故意或重大过失导致的，雇员应与雇主承担连带赔偿责任。这意味着，雇主和司机都需要对受害人进行赔偿，但雇主承担了连带责任后，仍有权向司机追偿其应承担的部分。
二、司机非在执行工作任务时发生事故
- 如果司机在发生交通事故时并非在执行雇佣活动，而是在办理个人事务（如擅自偏离路线去拜访朋友），那么雇主一般不需要承担赔偿责任。此时，应由司机自行承担事故责任。
三、特殊情况下的责任承担
车辆安全隐患：
- 如果交通事故的发生是由于车辆本身存在安全隐患（如刹车失灵、轮胎老化等），而雇主明知这些隐患却没有及时维修或更换，雇主可能需要承担更多的责任。因为雇主对车辆的安全状况负有一定的保障义务。
劳务派遣关系：
- 在劳务派遣关系中，如果被派遣的司机在执行工作任务时发生交通事故并负全责，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任。劳务派遣单位有过错的，也需承担相应的责任。
四、实际建议
- 明确法律关系：雇主和司机之间应明确法律关系，签订详尽的合同，明确双方的权利和责任。这有助于在发生事故时，快速确定责任承担方。
- 加强日常管理：雇主应加强对司机的日常管理和监督，确保司机在执行工作任务时遵守交通规则和安全注意义务。这有助于降低事故发生的概率，减少潜在的法律风险。
- 及时咨询与处理：若遇具体纠纷或事故，雇主和司机应及时向我咨询，以获取准确的法律意见和帮助。我会根据具体情况，提供针对性的法律建议和解决方案。
综上所述，司机全责时雇主的责任承担方式受到多种因素的影响。在实际操作中，应根据具体情况进行细致分析，以确保法律知识的准确性和可操作性。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。