结论：压死一只鸡后逃跑是否构成逃逸，主要取决于事故发生的地点、当事人的主观意图以及造成的后果。在非公共道路上通常不构成逃逸；在公共道路上，若当事人明知造成损失却故意逃离，且未造成其他严重后果，一般也不构成交通肇事逃逸，但可能面临民事赔偿；若同时造成其他严重后果，则可能构成逃逸。

详细分析：

1. 非公共道路情况：

   • 定义与范围：非公共道路，如农村自家院子、养殖场内部等，这些场所不对外开放，不具备公共交通功能。
   • 法律适用：在这些地方压死鸡，并不属于道路交通事故的范畴，因此不涉及交通肇事逃逸的问题。
   • 建议做法：尽管不构成逃逸，但从道德和人情世故的角度出发，建议当事人主动与受损方沟通，协商赔偿事宜，以维护良好的邻里关系。

2. 公共道路情况：

   • 定义与范围：公共道路，如城市道路、乡村公路等，这些道路供公众通行。
   • 一般情况下的法律适用：
     • 在公共道路上压死鸡，若当事人未停车查看并协商赔偿，而是直接逃离现场，从严格意义上讲，其行为可能符合交通肇事逃逸的某些特征，即明知发生事故而逃离。然而，由于压死一只鸡通常造成的财产损失较小，且不涉及人员伤亡，一般不构成交通肇事逃逸所要求的“重大财产损失”或“人员伤亡”等严重后果。
   • 特殊情况下的法律适用：
     • 如果压死鸡的同时还造成了其他严重后果，如车辆失控与其他车辆或行人发生碰撞，导致人员伤亡或重大财产损失，并且驾驶人出于逃避法律追究的目的而离开现场，那么这种情况下就可能构成交通肇事逃逸。
   • 判定要素：
     • 主观意图：当事人是否明知造成损失而故意逃离是判断的关键。若因未注意到或无法避免而压到鸡，且随后无逃避责任的故意行为，则不构成逃逸。
     • 客观行为：当事人是否有停车查看、报警、与受损方协商等积极处理事故的行为也是重要考量因素。
   • 法律责任：
     • 若被认定为交通肇事逃逸，当事人需承担相应的民事责任，主要是对受损方（鸡的主人）进行经济赔偿。此外，根据具体情况，还可能面临行政处罚，如罚款、扣分等。但仅就压死一只鸡而言，行政处罚的可能性相对较小。

3. 实际操作建议：

   • 谨慎驾驶：无论在任何路况下，都应保持高度警惕，遵守交通规则，确保行车安全，避免发生类似事故。
   • 积极应对：一旦发生交通事故（无论是与人、车还是动物），应立即停车查看情况，并根据实际需要采取报警、救助等措施。
   • 诚信协商：若造成他人财产损失，应主动与受损方进行沟通，协商合理的赔偿方案，以维护自身形象和避免不必要的法律纠纷。

总结与提醒：压死一只鸡后逃跑是否构成逃逸，需根据具体情况综合判断。在任何情况下，驾驶人都应保持冷静并采取合理的应对措施。如果您在交通运输事故责任方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。