结论前置：私企没有签订劳动协议即辞退员工，此行为违法，员工通常有权获得双倍工资补偿及可能的赔偿金或经济补偿金。

一、未签订劳动合同的法律后果

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，企业自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同的，必须向员工每月支付二倍的工资作为补偿。这一规定旨在保护劳动者的合法权益，确保劳动关系的明确与稳定。

举例说明：若员工在私企工作了8个月，而企业未与其签订劳动合同，则从第2个月起至第8个月，员工除正常工资外，还有权获得额外的7个月工资作为未签合同的补偿。

二、违法辞退的赔偿责任

1. 赔偿金：若私企辞退员工的行为被认定为违法解除劳动合同，根据《劳动合同法》第八十七条的规定，企业需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（若工作年限非整数年，则按上述规则折算）

举例说明：员工在私企工作了2年3个月，月工资为5000元，若企业违法辞退该员工，则需支付的赔偿金为：2.5（工作年限折算）× 5000（月工资）× 2 = 25000元。

1. 经济补偿金：在某些合法辞退但需要支付经济补偿的情形下（如无过失性辞退），企业也需按照上述经济补偿标准向员工支付经济补偿金。

三、特殊情况说明

虽然一般情况下私企未签劳动合同即辞退员工需承担法律责任，但也存在特殊情况。例如，若员工故意不与企业签订劳动合同，且企业能提供充分证据予以证明，那么企业可能无需支付未签订劳动合同的双倍工资补偿。然而，即使在这种情况下，企业辞退员工时仍需严格遵守法律规定，否则仍可能面临支付赔偿金或经济补偿金的风险。

四、总结与建议

综上所述，私企未签劳动合同即辞退员工是违法的，员工通常有权获得双重法律保护：一是支付未签订劳动合同期间的双倍工资补偿；二是根据辞退行为的合法性，可能需要获得赔偿金或经济补偿金。为避免不必要的法律风险和经济损失，私企应严格遵守相关法律法规，及时与员工签订书面劳动合同，并依法处理劳动关系中的各项事宜。

若您遇到此类情况，建议保留好相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等），以便在维权时提供有力支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。