结论：在租客续租但未签合同且之后不租了的情况下，主要涉及的是原租赁合同的延续问题以及租客提前解约的法律责任。具体分析如下：

1. 原租赁合同的延续：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。这意味着，如果租客在续租时没有签订新的书面合同，但继续使用了租赁物，且房东没有提出异议，那么原租赁合同将视为继续有效，但租赁期限变为不定期。
   • 在不定期租赁的情况下，任何一方都有权随时解除合同，但应当在合理期限之前通知对方。因此，租客在不租了的情况下，有权提前通知房东解除合同。

2. 租客提前解约的法律责任：

   • 尽管租客有权在不定期租赁中提前解约，但如果租客的行为给房东造成了损失，房东有权要求租客承担赔偿责任。例如，如果租客突然解约导致房东无法及时找到新的租客，从而造成了租金损失，房东可以要求租客赔偿这部分损失。
   • 另外，如果原租赁合同中有关于提前解约的约定（如违约金、赔偿金等），租客也需要按照合同约定承担相应的责任。

3. 实际操作建议：

   • 对于房东而言，如果租客续租但未签合同，房东应及时与租客沟通，明确租赁期限和租金等条款，并签订新的书面合同，以避免不必要的法律纠纷。
   • 如果租客已经提出不租了，房东应尽快与租客协商解约事宜，包括租金结算、房屋交接等。同时，房东也可以要求租客承担因提前解约而造成的合理损失。
   • 对于租客而言，如果打算提前解约，应提前通知房东，并尽量与房东协商达成一致意见。如果房东要求赔偿损失，租客应评估赔偿金额的合理性，并在必要时寻求法律帮助。

示例说明： 假设原租赁合同约定租期为一年，租金为每月5000元。租期届满后，租客继续居住并支付租金，但未与房东签订新的书面合同。三个月后，租客通知房东不再续租。在此情况下，原租赁合同视为继续有效，但租赁期限为不定期。租客有权提前解约，但应提前通知房东。如果房东因租客提前解约而遭受了租金损失（如无法及时找到新租客导致的空置期租金损失），房东可以要求租客赔偿这部分损失。

进一步思考： 在实际操作中，为了避免类似的法律纠纷，房东和租客都应在租赁期限届满前或续租时及时签订新的书面合同，明确双方的权利和义务。同时，双方也应了解并遵守相关法律法规的规定，以维护自己的合法权益。如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询。