结论前置：
- 若公司合法辞退且无需支付赔偿：通常是因为劳动者存在过错，如试用期不符合录用条件、严重违反公司规章制度等。
- 若公司合法辞退但需支付经济补偿：则基于特定情形，如劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作、不能胜任工作等。
- 若公司违法辞退：则需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
详细分析：
一、公司合法辞退且无需支付赔偿的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，若劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需支付经济补偿：
- 在试用期间被证明不符合录用条件；
- 严重违反用人单位的规章制度；
- 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正；
- 以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效；
- 被依法追究刑事责任。
举例：若员工在试用期内多次迟到早退，且经公司多次提醒仍不改正，公司有权以试用期不符合录用条件为由解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
二、公司合法辞退但需支付经济补偿的情形
在以下情形下，公司虽有权解除劳动合同，但需向劳动者支付经济补偿：
- 劳动者患病或非因工负伤：医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作。
- 劳动者不能胜任工作：经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作。
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化：致使劳动合同无法履行，经公司与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议。
经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
举例：若员工因患病医疗期满后不能从事原工作，公司决定解除劳动合同，且员工在公司工作满一年，则公司需支付一个月工资作为经济补偿。
三、公司违法辞退需支付赔偿金的情形
若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，劳动者有权要求继续履行合同或要求公司支付赔偿金。赔偿金计算如下：
- 劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，公司需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 工作满一年的劳动者，公司需支付两个月工资的赔偿金。
- 月工资同样指劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
举例：若公司无正当理由单方面解除与员工的劳动合同，且员工在公司工作满一年，则公司需支付两个月工资作为赔偿金。
建议与提醒：
- 在被辞退时，应首先明确辞退原因，并检查公司操作是否合法。
- 若认为公司存在违法行为，可及时向我咨询，通过法律途径维护自己的合法权益。
- 保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知书等，以便在维权过程中使用。