结论：第三方外包合同到期不续签，通常属于劳动合同的法定终止情形，但具体是否需要支付经济补偿金以及双方的权利义务，需根据合同的具体条款和实际情况来判断。以下从多个角度为您详细分析：

一、法律性质与终止情形

根据《劳动合同法》第四十四条的规定，劳动合同期满未续签即行终止。对于第三方外包员工而言，若其与劳务派遣公司签订的劳动合同到期且未续签，这通常被视为法定终止情形。在此情况下，除非存在特定例外，否则用人单位无需支付经济补偿金。

二、双方权利与义务

1. 派遣单位责任：

   • 派遣单位应提前30日书面通知员工是否续签合同。
   • 若不续签，需出具终止劳动合同证明，并办理档案转移手续。
   • 支付至合同终止日的工资及应得福利。

2. 用工单位义务：

   • 配合派遣单位完成工作交接。
   • 结清加班费、绩效奖金等费用。
   • 不得因合同终止克扣押金或证件。

3. 员工权益保障：

   • 有权要求派遣单位开具离职证明。
   • 可申请失业保险金（需满足连续缴费满1年等条件）。
   • 对违法终止行为有权提起劳动仲裁。

三、经济补偿金支付规则

• 合同自然到期且不续签：通常无需支付经济补偿金。
• 用工单位降低待遇导致员工拒签：根据《劳动合同法》第四十六条，若用工单位降低原合同条件导致员工拒绝续签，派遣单位需支付经济补偿金。补偿金标准通常为N（工作年限）×月平均工资。
• 未提前通知终止合同：若派遣单位未提前30日书面通知员工终止合同，可能需支付代通知金（即额外支付一个月工资）。

示例：假设某外包员工与劳务派遣公司签订的劳动合同即将到期，用工单位提出降低薪资标准但延长合同期限的续签条件，员工因此拒绝续签。在此情况下，派遣单位需按照员工的工作年限和月平均工资标准支付经济补偿金。

四、争议处理流程

1. 协商阶段：

   • 与派遣单位/用工单位沟通补偿方案。
   • 保存考勤记录、工资条等证据以备不时之需。

2. 仲裁申请：

   • 若协商无果，可向劳动合同履行地或派遣单位所在地劳动仲裁委员会提交仲裁申请。
   • 仲裁时效为知道权益受损之日起1年内。

3. 诉讼途径：

   • 对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼。
   • 诉讼时需提供社保缴纳记录、终止通知书等关键证据。

五、风险防范建议

• 员工方：

  • 定期保存工作邮件、加班审批单等证据。
  • 关注合同到期时间，主动询问续签意向。
  • 在合同终止前，确保已结清所有工资和福利。

• 企业方：

  • 规范终止流程，避免口头通知，确保所有通知和决定均以书面形式作出。
  • 对涉及降薪的续签调整需谨慎评估法律风险，必要时咨询专业律师。
  • 在合同终止前，确保已结清所有加班费、绩效奖金等费用。

最后，第三方外包合同到期不续签涉及的法律问题较为复杂，具体处理方式需根据合同条款和实际情况来判断。如果您在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。