结论：信用卡欠款6000元，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会面临法律诉讼，取决于多个因素的综合考量。以下是对此问题的详细分析：
银行或金融机构的起诉权利
- 从法律角度来看，只要持卡人未按照信用卡领用合同的约定按时还款，无论逾期金额大小，银行或金融机构都享有通过法律途径追讨欠款的权利。因此，对于6000元的欠款，银行完全有权选择起诉。
影响起诉决策的关键因素
- 逾期时间：短期逾期（如几天或一两周），且随后迅速还清欠款的情况下，被起诉的风险相对较低。长期逾期（如超过3个月），尤其是经过多次催收仍无果时，银行起诉的可能性显著增加。
- 还款态度与行动：积极与银行沟通，表明还款意愿，并尝试制定还款计划的持卡人，可能会获得银行的宽容和宽限期。逃避催收、拒绝沟通的行为，则可能促使银行更快地采取法律手段。
- 持卡人的信用记录和过往表现：过往信用记录良好，偶尔逾期的持卡人，可能会得到银行的相对宽容处理。经常逾期、信用状况较差的持卡人，则更可能面临银行的起诉。
- 银行或金融机构的政策差异：不同机构对逾期的容忍度和处理方式各不相同，有的可能更为宽松，给予更多还款机会；有的则可能更为严格，一旦逾期即采取法律行动。
逾期带来的其他不利影响
- 即使银行暂时不起诉，信用卡逾期也会带来一系列不利后果，包括但不限于产生高额的利息和滞纳金，增加还款负担；影响个人征信记录，对未来贷款、信用卡申请等造成障碍。
建议与对策
- 积极沟通：尽快与银行联系，说明自身情况，表达还款意愿，并尝试协商制定合理的还款计划，如分期还款等，以减轻还款压力并降低被起诉风险。
- 尽力还款：无论还款能力如何，都应尽量偿还一部分欠款，向银行表明自己不是恶意拖欠。即使无法一次性还清全部欠款，也应保持与银行的沟通，并持续努力还款。
- 了解法律后果：虽然欠款6000元一般不会构成刑事犯罪，但长期逾期且拒不还款可能面临民事诉讼，甚至被法院强制执行。因此，应重视信用卡还款问题，避免不必要的法律风险。
总结：信用卡欠款6000元是否会被起诉，并没有绝对的答案，而是取决于多种因素的综合考量。然而，无论是否被起诉，逾期都会带来不利的经济后果和信用影响。因此，建议持卡人尽快采取行动，与银行协商还款计划并积极履行还款义务。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。