公司在以下情况下可以合法辞退员工，具体分为过错性辞退、非过错性辞退以及经济性裁员三种情形：
一、过错性辞退（无需支付经济补偿）
试用期间不符合录用条件：
- 公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内进行客观考核。若员工未能达到要求，如未完成规定任务或表现不佳，公司可据此辞退。例如，某员工在试用期内多次迟到早退，且工作成果未达到公司要求，公司有权辞退该员工。
严重违反规章制度：
- 公司的规章制度需合法、合理，且经过民主程序制定并公示。员工若多次违反重要规定，如工作时间玩游戏、旷工等，经警告不改，公司有权辞退。例如，某员工连续旷工三天，且未提前请假或说明原因，公司可依据规章制度辞退该员工。
严重失职或营私舞弊：
- 员工在工作中因严重失误或故意行为给公司造成重大损失，如财务人员疏忽导致资金被骗，或销售人员泄露客户信息给竞争对手，公司可依法辞退。
双重劳动关系影响工作：
- 员工同时与其他企业建立劳动关系，且对本企业工作任务造成严重影响，或拒不改正的，公司可辞退。例如，某员工在业余时间兼职其他公司的工作，且因兼职导致本职工作频繁出错或无法按时完成，公司可辞退该员工。
劳动合同无效：
- 员工以欺诈、胁迫等手段使公司在违背真实意思的情况下订立劳动合同，如提供虚假学历或工作经历，公司发现后可辞退。
被依法追究刑事责任：
- 员工因犯罪被判处刑罚，公司有权解除劳动合同。例如，某员工因盗窃被法院判处有期徒刑，公司可立即辞退该员工。
二、非过错性辞退（需支付经济补偿）
患病或非因工负伤：
- 员工患病或非因工负伤，在法定医疗期满后无法从事原工作或公司另行安排的工作，公司可辞退。但需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资。例如，某员工因患病无法继续从事原工作，且公司无法为其安排其他合适岗位，公司可依据此条款辞退该员工，并支付相应的经济补偿。
不能胜任工作：
- 员工经培训或调整岗位后仍不能胜任工作，如销售人员业绩持续不达标，公司可解除劳动合同。同样需提前通知或额外支付工资。例如，某员工经过多次培训后仍无法达到销售业绩要求，公司可辞退该员工，并支付经济补偿。
客观情况发生重大变化：
- 如公司迁移、被兼并等导致劳动合同无法履行，且公司与员工协商未能就变更合同内容达成协议，公司可辞退。例如，公司因业务调整需要迁移至其他城市，而员工不愿随迁，双方无法就变更劳动合同达成一致，公司可辞退该员工，并支付经济补偿。
三、经济性裁员（需支付经济补偿）
公司破产重整：
- 依照企业破产法规定进行重整时，公司可进行经济性裁员。例如，公司因经营不善进入破产重整程序，需要裁减部分员工以降低成本，公司可依据此条款进行裁员，并支付经济补偿。
生产经营严重困难：
- 公司因市场变化、经营不善等原因导致生产经营发生严重困难，可裁减人员以降低成本。例如，公司因市场需求下降导致产品滞销，生产经营陷入困境，需要裁减部分员工以维持运营，公司可依据此条款进行裁员，并支付经济补偿。
技术革新或经营方式调整：
- 公司转产、重大技术革新或经营方式调整后，即使变更劳动合同，仍需裁减人员的，可进行经济性裁员。例如，公司因技术升级需要引进自动化设备，导致部分岗位被替代，需要裁减相关员工，公司可依据此条款进行裁员，并支付经济补偿。
总结与建议：
公司在辞退员工时，必须严格依据上述法律规定进行，确保辞退行为的合法性与合规性。对于过错性辞退，公司无需支付经济补偿；对于非过错性辞退和经济性裁员，公司则需按照法律规定支付相应的经济补偿。同时，公司应确保辞退过程的合法性、公正性和透明度，以避免潜在的法律风险。
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