登记设立的事业单位，其性质主要可以从以下几个方面来理解：

一、社会公益性质

根据《事业单位登记管理暂行条例》第二条的规定，事业单位是指国家为了社会公益目的，由国家机关举办或者其他组织利用国有资产举办的，从事教育、科技、文化、卫生等活动的社会服务组织。这表明，事业单位的核心性质在于其社会公益性，它们的主要任务是为社会提供公共服务，满足公众在教育、科技、文化、卫生等方面的需求。

二、非营利性

事业单位通常不以营利为目的，而是专注于提供公共服务。虽然事业单位在运营过程中可能会产生一定的收入，但这些收入主要用于支持其公益活动的开展，而不是用于分配给个人或股东。此外，如果事业单位依法举办营利性经营组织，这些组织必须实行独立核算，并依照国家有关公司、企业等经营组织的法律、法规进行登记管理，以确保其营利性活动与事业单位的公益性质相区分。

三、法人资格

根据条例第三条和第六条的规定，事业单位经县级以上各级人民政府及其有关主管部门批准成立后，应当依照条例的规定登记或者备案，并具备法人条件。这意味着，登记设立的事业单位具有独立的法人资格，能够独立承担民事责任，享有相应的民事权利。

四、政府举办或国有资产支持

事业单位通常由国家机关举办，或者由其他组织利用国有资产举办。这体现了事业单位与政府之间的紧密联系，以及国有资产在事业单位运营中的重要作用。这种背景使得事业单位在提供公共服务时具有更强的稳定性和可靠性。

五、分级登记管理

根据条例第五条的规定，事业单位实行分级登记管理。这意味着不同级别的事业单位由相应级别的登记管理机关进行管理和监督，以确保其运营活动的合规性和有效性。

概括起来，登记设立的事业单位具有社会公益性质、非营利性、法人资格、政府举办或国有资产支持以及分级登记管理等特点。这些特点共同构成了事业单位的基本性质，使其在社会主义物质文明和精神文明建设中发挥着重要作用。